Willkommen zu Medizintechnik 2. Heute möchte ich euch ein bisschen was erzählen zu Fourier-Reihen,

Fourier-Transformationen und das sind wirklich wichtige, grundlegende Signal-Analyseverfahren,

die wir jetzt ständig sehen werden. Die werdet ihr im Laufe eurer Studiums immer wieder hören.

Es wird immer wieder ein bisschen problematisch sein, das zu verstehen. Deswegen versuchen wir

jetzt hier eine ganz einfache Einführung zu bringen. Die Fourier-Transformation ist letzten

Endes eine Signal-Analyse, die uns eben erlaubt, ein signalbeliebiger Komplexität in Einzelteile

aufzudröseln und damit zu analysieren. Und sie hat ganz tolle mathematische Eigenschaften,

die wir dann auch immer wieder verwenden können, um uns die Signal-Analyse einfacher zu machen.

Deswegen schauen wir uns jetzt mal ganz von Anfang an Fourier-Serien an und bringen das langsam zur

Fourier-Transformation. Okay, hier sind wieder meine Folien, die Fourier-Reihen. Nun eine wichtige

Analogie, die ihr im Hinterkopf haben solltet, ist, was wir mit diesen Fourier-Reihen beabsichtigen,

ist eine Transformation in eine andere Darstellung. Und tatsächlich ist das, was wir in den folgenden

Folien uns angucken werden, später im Diskreten nichts anderes als eine Transformation eines

Vektoraums. Ich habe hier mal als Beispiel einen Vektoraum im R2 mitgebracht, den eigentlich jede

von euch kennen sollte. Das hier ist einfach eine Zahlenebene, wo wir eine x- und eine y-Achse haben,

das heißt jeder Punkt in dieser Ebene ist über zwei Koordinaten darstellbar. Zum Beispiel hier

der blaue Pfeil, der nur in x-Richtungen zeigt, der wäre also E1, also der eine Basisvektor dieses

Raums mit 1,0 darstellbar. Der zweite Basisvektor dieses Raums E2 in rot dargestellt, 0,1, der eben

orthogonal dazu verläuft. Und damit kann ich jetzt jeden Punkt in dieser Ebene beschreiben,

indem ich eben auf diese beiden Basisvektoren abbilde und damit meine Koordinaten in diese

zwei Achsen darstellen kann. Wenn ich jetzt anfange meine beiden Basisvektoren zu rotieren,

kann ich eine Transformation beschreiben, eine Matrix wird es dann, eine Transformationsmatrix,

die eben das eine Koordinatensystem in das andere Koordinatensystem überführt. Und letzten Endes

ist das, was wir mit der Fourier-Transformation uns später ansehen werden, genau so eine Transformation,

nur dass dieser Raum eben nicht einfach in demselben Weltanschauungsbild sich darstellen lässt,

sondern der führt dann eben in eine Art Wellenraum. Also es ist eine Abbildung auf Frequenzen. Das

macht häufig den Studierenden in den ersten Semestern etwas Probleme, dass man eben nicht

nur Transformation innerhalb des Raums von einem Koordinatensystem ins andere darstellen kann,

sondern ich kann eben auf solche ganz anderen abstrakten Räume abbilden. Okay, was ist die

Grundlage der Fourier-Serie? Die Frage, die wir uns eigentlich stellen wollen, brauchen wir eine

unendliche oder eine endliche Zahl von Basisvektoren, um solche Wellenformen zu beschreiben. Ich suche

also nach einer Basis, die wir gerade im Zweite gesehen haben, mit der ich quasi jeden Punkt dieser

Ebene beschreiben kann. Ich suche jetzt nach einer Basis, mit der ich alle Wellenformen darstellen

kann. So und da stellt sich jetzt die Frage, wie stelle ich denn am geschicktesten solche

Wellenformen dar? Nun, man kann das machen, man kann es mit der sogenannten Fourier-Serie machen und

die Idee dabei ist es, dass wir eben alle periodischen, da sind wir schon bei der ersten Einschränkung,

wir schauen uns jetzt nur periodische Signale an, also Signale, die immer wieder wiederkehren.

Diese periodischen Signale kann ich darstellen als eine Linearkombination. Also eine Linearkombination

ist eine Gewichte des Summe. Jedes periodische Signal kann ich durch so eine Summe von Cosinus

und Sinusfunktion darstellen und tatsächlich kann ich zeigen, dass diese Summe endlich ist,

wenn wir eine Maximalfrequenz haben und sie ist unendlich, wenn diese Maximalfrequenz eben nicht

vorkommt. Das war jetzt ganz schön viel. Jetzt schauen wir uns erstmal Stück für Stück so ein

periodisches Signal an und dann fangen wir das mal an in solche Sinus- und Cosinusgruppen zu

zunehmen. So gucken wir uns mal ein periodisches Signal an und das hier ist eine Sägezahnwelle und

diese Sägezahnwelle ist tatsächlich ein Signal, das auch vorkommen kann. Wenn jetzt euer EKG so

ausschaut, würde ich euch empfehlen, also wahrscheinlich empfehle ich euch dann nichts mehr,

weil das ist definitiv pathologisch, aber es ist tatsächlich ein Signal, das zum Beispiel in der

Elektrotechnik häufig eingesetzt wird. Nun wir haben aber auch andere periodische Signale wie

das EKG und für das EKG funktioniert das natürlich genauso. Wenn ich also ein periodisches EKG habe,

ein nicht pathologisches EKG, das eben immer wieder kehrt und immer wieder die gleiche Form hat,